Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Длины сто­рон ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да об­ра­зу­ет с мень­шей по пло­ща­ди бо­ко­вой гра­нью угол арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те альфа конец дроби , где α  — угол между диа­го­на­лью боль­шей по пло­ща­ди бо­ко­вой грани и плос­ко­стью диа­го­наль­но­го се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дан па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1, при­чем AB = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , AD = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , AA_1 = x. Угол между диа­го­на­лью AC1 па­рал­ле­ле­пи­пе­да и гра­нью CC1D1D равен углу между диа­го­на­лью AC1 и ее про­ек­ци­ей DC1 на плос­кость этой грани. Из усло­вия на­хо­дим:

синус \angle AC_1D = синус левая круг­лая скоб­ка арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Пря­мая DC1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а по­то­му дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби = синус \angle AC_1D, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 левая круг­лая скоб­ка 72 плюс 28 плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 30 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 500 плюс 5x в квад­ра­те = 900 рав­но­силь­но 5x в квад­ра­те = 400 рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 80 рав­но­силь­но x = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Угол α равен углу между пря­мой AD1 и плос­ко­стью BB1D1D, то есть углу между пря­мой AD1 и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AK к пря­мой BD, тогда пря­мая D1K пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AK по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Сле­до­ва­тель­но, угол KD1A  — ис­ко­мый. Вос­поль­зу­ем­ся тем, что длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы, а также тео­ре­мой Пи­фа­го­ра и по­лу­чим:

синус альфа = синус \angle KD_1A = дробь: чис­ли­тель: AK, зна­ме­на­тель: AD_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AD умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: BD умно­жить на AD_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 72 плюс 28 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 72 плюс 80 конец ар­гу­мен­та конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 152 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 38 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 95 конец дроби .

Таким об­ра­зом,

дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те альфа конец дроби = 63 : дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 133, зна­ме­на­тель: 95 в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 95 умно­жить на 95 умно­жить на 63, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 133 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19 умно­жить на 5 умно­жить на 95 умно­жить на 9 умно­жить на 7, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 7 умно­жить на 19 конец дроби = 5 умно­жить на 95 = 475.

Ответ: 475.


Аналоги к заданию № 2783: 2813 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2025 год. Ва­ри­ант 1
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026